Решете sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Решаване за x

$$x=14$$

$$x=6$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-3} и получавате 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-5} и получавате x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Извадете 5 от 4, за да получите -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Извадете -1+x и от двете страни на уравнението.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

За да намерите противоположната стойност на -1+x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Съберете -3 и 1, за да се получи -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Групирайте 2x и -x, за да получите x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Разложете \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 4 и получавате 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-5} и получавате x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16 по x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Извадете 16x и от двете страни.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Групирайте -4x и -16x, за да получите -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Добавете 80 от двете страни.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Съберете 4 и 80, за да се получи 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}-20x+84 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-20 ab=84$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 84 на продукта.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Решението е двойката, която дава сума -20.

$$a=-14 b=-6$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-14=0 и x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Заместете 14 вместо x в уравнението \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Опростявайте. Стойността x=14 отговаря на уравнението.

$$5=5$$

Заместете 6 вместо x в уравнението \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Опростявайте. Стойността x=6 отговаря на уравнението.

$$3=3$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$