Решете sqrt{2x+5}-2=sqrt{6x+1}

$$\sqrt{ 2x+5 } -2= \sqrt{ 6x+1 }$$

Решаване за x

$$x=3-\sqrt{10}\approx -0,16227766$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{2x+5}-2\right)^{2}=\left(\sqrt{6x+1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{2x+5}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}-4\sqrt{2x+5}+4=\left(\sqrt{6x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x+5} и получавате 2x+5.

$$2x+5-4\sqrt{2x+5}+4=\left(\sqrt{6x+1}\right)^{2}$$

Съберете 5 и 4, за да се получи 9.

$$2x+9-4\sqrt{2x+5}=\left(\sqrt{6x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{6x+1} и получавате 6x+1.

$$2x+9-4\sqrt{2x+5}=6x+1$$

Извадете 2x+9 и от двете страни на уравнението.

$$-4\sqrt{2x+5}=6x+1-\left(2x+9\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 2x+9, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-4\sqrt{2x+5}=6x+1-2x-9$$

Групирайте 6x и -2x, за да получите 4x.

$$-4\sqrt{2x+5}=4x+1-9$$

Извадете 9 от 1, за да получите -8.

$$-4\sqrt{2x+5}=4x-8$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-4\sqrt{2x+5}\right)^{2}=\left(4x-8\right)^{2}$$

Разложете \left(-4\sqrt{2x+5}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}=\left(4x-8\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -4 и получавате 16.

$$16\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}=\left(4x-8\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x+5} и получавате 2x+5.

$$16\left(2x+5\right)=\left(4x-8\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16 по 2x+5.

$$32x+80=\left(4x-8\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(4x-8\right)^{2}.

$$32x+80=16x^{2}-64x+64$$

Извадете 16x^{2} и от двете страни.

$$32x+80-16x^{2}=-64x+64$$

Добавете 64x от двете страни.

$$32x+80-16x^{2}+64x=64$$

Групирайте 32x и 64x, за да получите 96x.

$$96x+80-16x^{2}=64$$

Извадете 64 и от двете страни.

$$96x+80-16x^{2}-64=0$$

Извадете 64 от 80, за да получите 16.

$$96x+16-16x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-16x^{2}+96x+16=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -16 вместо a, 96 вместо b и 16 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\times 16}}{2\left(-16\right)}$$

Повдигане на квадрат на 96.

$$x=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\times 16}}{2\left(-16\right)}$$

Умножете -4 по -16.

$$x=\frac{-96±\sqrt{9216+64\times 16}}{2\left(-16\right)}$$

Умножете 64 по 16.

$$x=\frac{-96±\sqrt{9216+1024}}{2\left(-16\right)}$$

Съберете 9216 с 1024.

$$x=\frac{-96±\sqrt{10240}}{2\left(-16\right)}$$

Получете корен квадратен от 10240.

$$x=\frac{-96±32\sqrt{10}}{2\left(-16\right)}$$

Умножете 2 по -16.

$$x=\frac{-96±32\sqrt{10}}{-32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-96±32\sqrt{10}}{-32}, когато ± е плюс. Съберете -96 с 32\sqrt{10}.

$$x=\frac{32\sqrt{10}-96}{-32}$$

Разделете -96+32\sqrt{10} на -32.

$$x=3-\sqrt{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-96±32\sqrt{10}}{-32}, когато ± е минус. Извадете 32\sqrt{10} от -96.

$$x=\frac{-32\sqrt{10}-96}{-32}$$

Разделете -96-32\sqrt{10} на -32.

$$x=\sqrt{10}+3$$

Уравнението сега е решено.

$$x=3-\sqrt{10} x=\sqrt{10}+3$$

Заместете 3-\sqrt{10} вместо x в уравнението \sqrt{2x+5}-2=\sqrt{6x+1}.

$$\sqrt{2\left(3-\sqrt{10}\right)+5}-2=\sqrt{6\left(3-\sqrt{10}\right)+1}$$

Опростявайте. Стойността x=3-\sqrt{10} отговаря на уравнението.

$$10^{\frac{1}{2}}-3=10^{\frac{1}{2}}-3$$

Заместете \sqrt{10}+3 вместо x в уравнението \sqrt{2x+5}-2=\sqrt{6x+1}.

$$\sqrt{2\left(\sqrt{10}+3\right)+5}-2=\sqrt{6\left(\sqrt{10}+3\right)+1}$$

Опростявайте. Стойността x=\sqrt{10}+3 не отговаря на уравнението.

$$10^{\frac{1}{2}}-1=3+10^{\frac{1}{2}}$$

Заместете 3-\sqrt{10} вместо x в уравнението \sqrt{2x+5}-2=\sqrt{6x+1}.

$$\sqrt{2\left(3-\sqrt{10}\right)+5}-2=\sqrt{6\left(3-\sqrt{10}\right)+1}$$

Опростявайте. Стойността x=3-\sqrt{10} отговаря на уравнението.

$$10^{\frac{1}{2}}-3=10^{\frac{1}{2}}-3$$

Уравнението \sqrt{2x+5}-2=\sqrt{6x+1} има уникално решение.

$$x=3-\sqrt{10}$$