Решете sqrt{2x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt{ 2x+1 } - \sqrt{ 2x-1 } =1$$

Решаване за x

$$x=\frac{5}{8}=0,625$$

Стъпки на решението

Извадете -\sqrt{2x-1} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x+1} и получавате 2x+1.

$$2x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$2x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-1} и получавате 2x-1.

$$2x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Извадете 1 от 1, за да получите 0.

$$2x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Извадете 2\sqrt{2x-1} и от двете страни.

$$2x+1-2\sqrt{2x-1}=2x$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$2x+1-2\sqrt{2x-1}-2x=0$$

Групирайте 2x и -2x, за да получите 0.

$$1-2\sqrt{2x-1}=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-2\sqrt{2x-1}=-1$$

Разделете двете страни на -2.

$$\sqrt{2x-1}=\frac{-1}{-2}$$

Дробта \frac{-1}{-2} може да бъде опростена до \frac{1}{2} чрез премахване на знака минус от числителя и знаменателя.

$$\sqrt{2x-1}=\frac{1}{2}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$2x-1=\frac{1}{4}$$

Съберете 1 към двете страни на уравнението.

$$2x-1-\left(-1\right)=\frac{1}{4}-\left(-1\right)$$

Изваждане на -1 от самото него дава 0.

$$2x=\frac{1}{4}-\left(-1\right)$$

Извадете -1 от \frac{1}{4}.

$$2x=\frac{5}{4}$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x}{2}=\frac{\frac{5}{4}}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x=\frac{\frac{5}{4}}{2}$$

Разделете \frac{5}{4} на 2.

$$x=\frac{5}{8}$$

Заместете \frac{5}{8} вместо x в уравнението \sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{2\times \frac{5}{8}+1}-\sqrt{2\times \frac{5}{8}-1}=1$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{5}{8} отговаря на уравнението.

$$1=1$$

Уравнението \sqrt{2x+1}=\sqrt{2x-1}+1 има уникално решение.

$$x=\frac{5}{8}$$