Решете sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Решаване за x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Стъпки на решението

Извадете \sqrt{1+x} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{1-x} и получавате 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{1+x} и получавате 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Съберете 2 и 1, за да се получи 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Извадете 3+x и от двете страни на уравнението.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

За да намерите противоположната стойност на 3+x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Групирайте -x и -x, за да получите -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Разложете \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -2 и получавате 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Умножете 4 по 2, за да получите 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{1+x} и получавате 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8 по 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Извадете 8 от 4, за да получите -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Извадете 8x и от двете страни.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Групирайте 8x и -8x, за да получите 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Сметнете -1+x^{2}. Напишете -1+x^{2} като x^{2}-1^{2}. Разликата между квадратите може да бъде заложена, като се използва правилото: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-1=0 и x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Заместете 1 вместо x в уравнението \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Опростявайте. Стойността x=1 отговаря на уравнението.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Заместете -1 вместо x в уравнението \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Опростявайте. Стойността x=-1 отговаря на уравнението.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$