Решете sqrt{(2x-5)}-sqrt{(x-1)}=1

$$\sqrt{ (2x-5) } - \sqrt{ (x-1) } =1$$

Решаване за x

$$x=2\sqrt{5}+7\approx 11,472135955$$

Стъпки на решението

Извадете -\sqrt{x-1} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{x-1}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{2x-5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-5} и получавате 2x-5.

$$2x-5=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-1} и получавате x-1.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$

Извадете 1 от 1, за да получите 0.

$$2x-5=2\sqrt{x-1}+x$$

Извадете x и от двете страни на уравнението.

$$2x-5-x=2\sqrt{x-1}$$

Групирайте 2x и -x, за да получите x.

$$x-5=2\sqrt{x-1}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(x-5\right)^{2}=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-5\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Разложете \left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$x^{2}-10x+25=4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-1} и получавате x-1.

$$x^{2}-10x+25=4\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x-1.

$$x^{2}-10x+25=4x-4$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$x^{2}-10x+25-4x=-4$$

Групирайте -10x и -4x, за да получите -14x.

$$x^{2}-14x+25=-4$$

Добавете 4 от двете страни.

$$x^{2}-14x+25+4=0$$

Съберете 25 и 4, за да се получи 29.

$$x^{2}-14x+29=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -14 вместо b и 29 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 29}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 29}}{2}$$

Умножете -4 по 29.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-116}}{2}$$

Съберете 196 с -116.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Получете корен квадратен от 80.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Противоположното на -14 е 14.

$$x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}, когато ± е плюс. Съберете 14 с 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+14}{2}$$

Разделете 14+4\sqrt{5} на 2.

$$x=2\sqrt{5}+7$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}, когато ± е минус. Извадете 4\sqrt{5} от 14.

$$x=\frac{14-4\sqrt{5}}{2}$$

Разделете 14-4\sqrt{5} на 2.

$$x=7-2\sqrt{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=2\sqrt{5}+7 x=7-2\sqrt{5}$$

Заместете 2\sqrt{5}+7 вместо x в уравнението \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Опростявайте. Стойността x=2\sqrt{5}+7 отговаря на уравнението.

$$1=1$$

Заместете 7-2\sqrt{5} вместо x в уравнението \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(7-2\sqrt{5}\right)-5}-\sqrt{7-2\sqrt{5}-1}=1$$

Опростявайте. Стойността x=7-2\sqrt{5} не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$-1=1$$

Заместете 2\sqrt{5}+7 вместо x в уравнението \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Опростявайте. Стойността x=2\sqrt{5}+7 отговаря на уравнението.

$$1=1$$

Уравнението \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}+1 има уникално решение.

$$x=2\sqrt{5}+7$$