Решете sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Решаване за x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Най-малко общо кратно на 2 и 4 е 4. Преобразувайте \frac{1}{2} и \frac{1}{4} в дроби със знаменател 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Тъй като \frac{2}{4} и \frac{1}{4} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Съберете 2 и 1, за да се получи 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Най-малко общо кратно на 4 и 8 е 8. Преобразувайте \frac{3}{4} и \frac{1}{8} в дроби със знаменател 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Тъй като \frac{6}{8} и \frac{1}{8} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Съберете 6 и 1, за да се получи 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Най-малко общо кратно на 8 и 16 е 16. Преобразувайте \frac{7}{8} и \frac{1}{16} в дроби със знаменател 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Тъй като \frac{14}{16} и \frac{1}{16} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Съберете 14 и 1, за да се получи 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} и получавате \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, \frac{1}{2} вместо b и \frac{15}{16} вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете \frac{1}{4} и \frac{15}{4}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -\frac{1}{2} с 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Разделете \frac{3}{2} на -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, когато ± е минус. Извадете 2 от -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Разделете -\frac{5}{2} на -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Заместете -\frac{3}{4} вместо x в уравнението \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Опростявайте. Стойността x=-\frac{3}{4} не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Заместете \frac{5}{4} вместо x в уравнението \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{5}{4} отговаря на уравнението.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Уравнението \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x има уникално решение.

$$x=\frac{5}{4}$$