Решете sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-1} и получавате x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Съберете -1 и 4, за да се получи 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Разложете \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+3} и получавате x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Извадете x+3 и от двете страни на уравнението.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x+3, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Групирайте 4x и -x, за да получите 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Извадете 3 от 12, за да получите 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Разложете \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -4 и получавате 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-1} и получавате x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16 по x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+9\right)^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Извадете 54x и от двете страни.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Групирайте 16x и -54x, за да получите -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Извадете 81 и от двете страни.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Извадете 81 от -16, за да получите -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -9 вместо a, -38 вместо b и -97 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Повдигане на квадрат на -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножете -4 по -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножете 36 по -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Съберете 1444 с -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Получете корен квадратен от -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Противоположното на -38 е 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Умножете 2 по -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Сега решете уравнението x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}, когато ± е плюс. Съберете 38 с 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Разделете 38+32i\sqrt{2} на -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Сега решете уравнението x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}, когато ± е минус. Извадете 32i\sqrt{2} от 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Разделете 38-32i\sqrt{2} на -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Заместете \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} вместо x в уравнението \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} отговаря на уравнението.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Заместете \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} вместо x в уравнението \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} не отговаря на уравнението.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Заместете \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} вместо x в уравнението \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} отговаря на уравнението.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Уравнението \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} има уникално решение.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$