Решете sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}-1} и получавате x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x+1} и получавате 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Извадете 1 от -1, за да получите -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -2 вместо b и -2 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Умножете -4 по -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Съберете 4 с 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Получете корен квадратен от 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, когато ± е плюс. Съберете 2 с 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Разделете 2+2\sqrt{3} на 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, когато ± е минус. Извадете 2\sqrt{3} от 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Разделете 2-2\sqrt{3} на 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Заместете \sqrt{3}+1 вместо x в уравнението \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Опростявайте. Стойността x=\sqrt{3}+1 отговаря на уравнението.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Заместете 1-\sqrt{3} вместо x в уравнението \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Опростявайте. Стойността x=1-\sqrt{3} отговаря на уравнението.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Решаване за x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}-1} и получавате x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x+1} и получавате 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Извадете 1 от -1, за да получите -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -2 вместо b и -2 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Умножете -4 по -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Съберете 4 с 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Получете корен квадратен от 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, когато ± е плюс. Съберете 2 с 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Разделете 2+2\sqrt{3} на 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, когато ± е минус. Извадете 2\sqrt{3} от 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Разделете 2-2\sqrt{3} на 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Заместете \sqrt{3}+1 вместо x в уравнението \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Опростявайте. Стойността x=\sqrt{3}+1 отговаря на уравнението.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Заместете 1-\sqrt{3} вместо x в уравнението \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Изразът \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} е недефиниран, защото radicand не може да бъде отрицателен.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Уравнението \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} има уникално решение.

$$x=\sqrt{3}+1$$