Решете sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Решаване за x

$$x=-2$$

Стъпки на решението

Извадете -7 и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}+2x+9} и получавате x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Извадете 28x и от двете страни.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Групирайте 2x и -28x, за да получите -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Извадете 49 и от двете страни.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Извадете 49 от 9, за да получите -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx-40. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 120 на продукта.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решението е двойката, която дава сума -26.

$$a=-6 b=-20$$

Напишете -3x^{2}-26x-40 като \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Фактор, 3x в първата и 20 във втората група.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Разложете на множители общия член -x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x-2=0 и 3x+20=0.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Заместете -2 вместо x в уравнението \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Опростявайте. Стойността x=-2 отговаря на уравнението.

$$-4=-4$$

Заместете -\frac{20}{3} вместо x в уравнението \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Опростявайте. Стойността x=-\frac{20}{3} не отговаря на уравнението.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

Уравнението \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 има уникално решение.

$$x=-2$$