Решете sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

Решаване за x

$$x=-5$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+6} и получавате x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{9x+70} и получавате 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Групирайте x и 9x, за да получите 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Съберете 6 и 70, за да се получи 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Разложете \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -2 и получавате 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+9} и получавате x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Извадете 10x+76 и от двете страни на уравнението.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 10x+76, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Групирайте 4x и -10x, за да получите -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Извадете 76 от 36, за да получите -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Разложете \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -2 и получавате 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+6} и получавате x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{9x+70} и получавате 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Приложете разпределителното свойство, като умножите всеки член на 4x+24 по всеки член на 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Групирайте 280x и 216x, за да получите 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Извадете 36x^{2} и от двете страни.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Групирайте 36x^{2} и -36x^{2}, за да получите 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Извадете 480x и от двете страни.

$$496x+1680-480x=1600$$

Групирайте 496x и -480x, за да получите 16x.

$$16x+1680=1600$$

Извадете 1680 и от двете страни.

$$16x=1600-1680$$

Извадете 1680 от 1600, за да получите -80.

$$16x=-80$$

Разделете двете страни на 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Разделете -80 на 16, за да получите -5.

$$x=-5$$

Заместете -5 вместо x в уравнението \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Опростявайте. Стойността x=-5 отговаря на уравнението.

$$-4=-4$$

Уравнението \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} има уникално решение.

$$x=-5$$