Решете sqrt{a^2-4a+20}=sqrt{a}

$$\sqrt { a ^ { 2 } - 4 a + 20 } = \sqrt { a }$$

Решаване за a

$$a=2\sqrt{5}e^{\arctan(\frac{\sqrt{55}}{5})i}\approx 2,5+3,708099244i$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{a^{2}-4a+20}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{a^{2}-4a+20} и получавате a^{2}-4a+20.

$$a^{2}-4a+20=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{a} и получавате a.

$$a^{2}-4a+20=a$$

Извадете a и от двете страни.

$$a^{2}-4a+20-a=0$$

Групирайте -4a и -a, за да получите -5a.

$$a^{2}-5a+20=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -5 вместо b и 20 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 20}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 20}}{2}$$

Умножете -4 по 20.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-80}}{2}$$

Съберете 25 с -80.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-55}}{2}$$

Получете корен квадратен от -55.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{55}i}{2}$$

Противоположното на -5 е 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}$$

Сега решете уравнението a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}, когато ± е плюс. Съберете 5 с i\sqrt{55}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2}$$

Сега решете уравнението a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}, когато ± е минус. Извадете i\sqrt{55} от 5.

$$a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Заместете \frac{5+\sqrt{55}i}{2} вместо a в уравнението \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{5+\sqrt{55}i}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5+\sqrt{55}i}{2}+20}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{55}i}{2}}$$

Опростявайте. Стойността a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} отговаря на уравнението.

$$\frac{1}{2}\left(10+2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Заместете \frac{-\sqrt{55}i+5}{2} вместо a в уравнението \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}\right)^{2}-4\times \frac{-\sqrt{55}i+5}{2}+20}=\sqrt{\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}}$$

Опростявайте. Стойността a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2} отговаря на уравнението.

$$\frac{1}{2}\left(10-2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$