Решете sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Решаване за x

$$x=2$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{7x+67} и получавате 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Извадете 20x и от двете страни.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Групирайте 7x и -20x, за да получите -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Извадете 25 и от двете страни.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Извадете 25 от 67, за да получите 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -4x^{2}+ax+bx+42. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -168 на продукта.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -13.

$$a=8 b=-21$$

Напишете -4x^{2}-13x+42 като \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Фактор, 4x в първата и 21 във втората група.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Разложете на множители общия член -x+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+2=0 и 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Заместете 2 вместо x в уравнението \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Опростявайте. Стойността x=2 отговаря на уравнението.

$$9=9$$

Заместете -\frac{21}{4} вместо x в уравнението \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Опростявайте. Стойността x=-\frac{21}{4} не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

Уравнението \sqrt{7x+67}=2x+5 има уникално решение.

$$x=2$$