Решете sqrt{5x-6}-sqrt{x-2}=2

$$\sqrt { 5 x - 6 } - \sqrt { x - 2 } = 2$$

Решаване за x

$$x=3$$

$$x=2$$

Стъпки на решението

Извадете -\sqrt{x-2} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{5x-6}=2+\sqrt{x-2}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{5x-6}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{5x-6} и получавате 5x-6.

$$5x-6=\left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$5x-6=4+4\sqrt{x-2}+\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-2} и получавате x-2.

$$5x-6=4+4\sqrt{x-2}+x-2$$

Извадете 2 от 4, за да получите 2.

$$5x-6=2+4\sqrt{x-2}+x$$

Извадете 2+x и от двете страни на уравнението.

$$5x-6-\left(2+x\right)=4\sqrt{x-2}$$

За да намерите противоположната стойност на 2+x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$5x-6-2-x=4\sqrt{x-2}$$

Извадете 2 от -6, за да получите -8.

$$5x-8-x=4\sqrt{x-2}$$

Групирайте 5x и -x, за да получите 4x.

$$4x-8=4\sqrt{x-2}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(4x-8\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(4x-8\right)^{2}.

$$16x^{2}-64x+64=\left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Разложете \left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$16x^{2}-64x+64=4^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 4 и получавате 16.

$$16x^{2}-64x+64=16\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-2} и получавате x-2.

$$16x^{2}-64x+64=16\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16 по x-2.

$$16x^{2}-64x+64=16x-32$$

Извадете 16x и от двете страни.

$$16x^{2}-64x+64-16x=-32$$

Групирайте -64x и -16x, за да получите -80x.

$$16x^{2}-80x+64=-32$$

Добавете 32 от двете страни.

$$16x^{2}-80x+64+32=0$$

Съберете 64 и 32, за да се получи 96.

$$16x^{2}-80x+96=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 16 вместо a, -80 вместо b и 96 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\times 96}}{2\times 16}$$

Повдигане на квадрат на -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\times 96}}{2\times 16}$$

Умножете -4 по 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\times 96}}{2\times 16}$$

Умножете -64 по 96.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6144}}{2\times 16}$$

Съберете 6400 с -6144.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Получете корен квадратен от 256.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±16}{2\times 16}$$

Противоположното на -80 е 80.

$$x=\frac{80±16}{2\times 16}$$

Умножете 2 по 16.

$$x=\frac{80±16}{32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{80±16}{32}, когато ± е плюс. Съберете 80 с 16.

$$x=\frac{96}{32}$$

Разделете 96 на 32.

$$x=3$$

Сега решете уравнението x=\frac{80±16}{32}, когато ± е минус. Извадете 16 от 80.

$$x=\frac{64}{32}$$

Разделете 64 на 32.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=3 x=2$$

Заместете 3 вместо x в уравнението \sqrt{5x-6}-\sqrt{x-2}=2.

$$\sqrt{5\times 3-6}-\sqrt{3-2}=2$$

Опростявайте. Стойността x=3 отговаря на уравнението.

$$2=2$$

Заместете 2 вместо x в уравнението \sqrt{5x-6}-\sqrt{x-2}=2.

$$\sqrt{5\times 2-6}-\sqrt{2-2}=2$$

Опростявайте. Стойността x=2 отговаря на уравнението.

$$2=2$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{5x-6}=\sqrt{x-2}+2.

$$x=3 x=2$$