Решете sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Решаване за x

$$x=2$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{5x-1} и получавате 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{3x-2} и получавате 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Групирайте 5x и 3x, за да получите 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Извадете 2 от -1, за да получите -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-1} и получавате x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Извадете 8x-3 и от двете страни на уравнението.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 8x-3, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Групирайте x и -8x, за да получите -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Съберете -1 и 3, за да се получи 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Разложете \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -2 и получавате 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{5x-1} и получавате 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{3x-2} и получавате 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Приложете разпределителното свойство, като умножите всеки член на 20x-4 по всеки член на 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Групирайте -40x и -12x, за да получите -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Извадете 49x^{2} и от двете страни.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Групирайте 60x^{2} и -49x^{2}, за да получите 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Добавете 28x от двете страни.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Групирайте -52x и 28x, за да получите -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Извадете 4 и от двете страни.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Извадете 4 от 8, за да получите 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 11x^{2}+ax+bx+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 44 на продукта.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Решението е двойката, която дава сума -24.

$$a=-22 b=-2$$

Напишете 11x^{2}-24x+4 като \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Фактор, 11x в първата и -2 във втората група.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Разложете на множители общия член x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-2=0 и 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Заместете \frac{2}{11} вместо x в уравнението \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Изразът \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} е недефиниран, защото radicand не може да бъде отрицателен.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Заместете 2 вместо x в уравнението \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Опростявайте. Стойността x=2 отговаря на уравнението.

$$1=1$$

Уравнението \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} има уникално решение.

$$x=2$$