Решете sqrt{3x^2-5x+6}=2(x+2)

$$\sqrt { 3 x ^ { 2 } - 5 x + 6 } = 2 ( x + 2 )$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{401}-21}{2}\approx -0,487507803$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{3x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(2\left(x+2\right)\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{3x^{2}-5x+6} и получавате 3x^{2}-5x+6.

$$3x^{2}-5x+6=\left(2\left(x+2\right)\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по x+2.

$$3x^{2}-5x+6=\left(2x+4\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+4\right)^{2}.

$$3x^{2}-5x+6=4x^{2}+16x+16$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$3x^{2}-5x+6-4x^{2}=16x+16$$

Групирайте 3x^{2} и -4x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}-5x+6=16x+16$$

Извадете 16x и от двете страни.

$$-x^{2}-5x+6-16x=16$$

Групирайте -5x и -16x, за да получите -21x.

$$-x^{2}-21x+6=16$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$-x^{2}-21x+6-16=0$$

Извадете 16 от 6, за да получите -10.

$$-x^{2}-21x-10=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -21 вместо b и -10 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -10.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-40}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 441 с -40.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{401}}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -21 е 21.

$$x=\frac{21±\sqrt{401}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{21±\sqrt{401}}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{21±\sqrt{401}}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 21 с \sqrt{401}.

$$x=\frac{\sqrt{401}+21}{-2}$$

Разделете 21+\sqrt{401} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{401}-21}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{21±\sqrt{401}}{-2}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{401} от 21.

$$x=\frac{21-\sqrt{401}}{-2}$$

Разделете 21-\sqrt{401} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{401}-21}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-\sqrt{401}-21}{2} x=\frac{\sqrt{401}-21}{2}$$

Заместете \frac{-\sqrt{401}-21}{2} вместо x в уравнението \sqrt{3x^{2}-5x+6}=2\left(x+2\right).

$$\sqrt{3\times \left(\frac{-\sqrt{401}-21}{2}\right)^{2}-5\times \frac{-\sqrt{401}-21}{2}+6}=2\left(\frac{-\sqrt{401}-21}{2}+2\right)$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{-\sqrt{401}-21}{2} не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$401^{\frac{1}{2}}+17=-401^{\frac{1}{2}}-17$$

Заместете \frac{\sqrt{401}-21}{2} вместо x в уравнението \sqrt{3x^{2}-5x+6}=2\left(x+2\right).

$$\sqrt{3\times \left(\frac{\sqrt{401}-21}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{401}-21}{2}+6}=2\left(\frac{\sqrt{401}-21}{2}+2\right)$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{\sqrt{401}-21}{2} отговаря на уравнението.

$$401^{\frac{1}{2}}-17=401^{\frac{1}{2}}-17$$

Уравнението \sqrt{3x^{2}-5x+6}=2\left(x+2\right) има уникално решение.

$$x=\frac{\sqrt{401}-21}{2}$$