Решете sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Решаване за x

$$x=5$$

$$x=1$$

Стъпки на решението

Извадете -\sqrt{2x-1} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{3x+1} и получавате 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-1} и получавате 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Извадете 1 от 1, за да получите 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Извадете 2x и от двете страни на уравнението.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Групирайте 3x и -2x, за да получите x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Разложете \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-1} и получавате 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Извадете 8x и от двете страни.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Групирайте 2x и -8x, за да получите -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Добавете 4 от двете страни.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Съберете 1 и 4, за да се получи 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}-6x+5 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-6 ab=5$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-5 b=-1$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-5=0 и x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Заместете 5 вместо x в уравнението \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Опростявайте. Стойността x=5 отговаря на уравнението.

$$1=1$$

Заместете 1 вместо x в уравнението \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Опростявайте. Стойността x=1 отговаря на уравнението.

$$1=1$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$