Решете sqrt{3+x}=1/2x+2/2

$$\sqrt { 3 + x } = \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 2 } { 2 }$$

Решаване за x

$$x=2\sqrt{2}\approx 2,828427125$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{3+x}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{2}{2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{3+x} и получавате 3+x.

$$3+x=\left(\frac{1}{2}x+\frac{2}{2}\right)^{2}$$

Разделете 2 на 2, за да получите 1.

$$3+x=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(\frac{1}{2}x+1\right)^{2}.

$$3+x=\frac{1}{4}x^{2}+x+1$$

Извадете \frac{1}{4}x^{2} и от двете страни.

$$3+x-\frac{1}{4}x^{2}=x+1$$

Извадете x и от двете страни.

$$3+x-\frac{1}{4}x^{2}-x=1$$

Групирайте x и -x, за да получите 0.

$$3-\frac{1}{4}x^{2}=1$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$-\frac{1}{4}x^{2}=1-3$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$-\frac{1}{4}x^{2}=-2$$

Умножете двете страни по -4 – реципрочната стойност на -\frac{1}{4}.

$$x^{2}=-2\left(-4\right)$$

Умножете -2 по -4, за да получите 8.

$$x^{2}=8$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$x=2\sqrt{2} x=-2\sqrt{2}$$

Заместете 2\sqrt{2} вместо x в уравнението \sqrt{3+x}=\frac{1}{2}x+\frac{2}{2}.

$$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}+\frac{2}{2}$$

Опростявайте. Стойността x=2\sqrt{2} отговаря на уравнението.

$$2^{\frac{1}{2}}+1=2^{\frac{1}{2}}+1$$

Заместете -2\sqrt{2} вместо x в уравнението \sqrt{3+x}=\frac{1}{2}x+\frac{2}{2}.

$$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\left(-2\sqrt{2}\right)+\frac{2}{2}$$

Опростявайте. Стойността x=-2\sqrt{2} не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$2^{\frac{1}{2}}-1=-2^{\frac{1}{2}}+1$$

Уравнението \sqrt{x+3}=\frac{x}{2}+1 има уникално решение.

$$x=2\sqrt{2}$$