Решете sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Стъпки на решението

Извадете -\sqrt{15+x^{2}} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{25-x^{2}} и получавате 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{15+x^{2}} и получавате 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Съберете 16 и 15, за да се получи 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Извадете 31+x^{2} и от двете страни на уравнението.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

За да намерите противоположната стойност на 31+x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Извадете 31 от 25, за да получите -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Групирайте -x^{2} и -x^{2}, за да получите -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Разложете \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 8 и получавате 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{15+x^{2}} и получавате 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 64 по 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Извадете 960 и от двете страни.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Извадете 960 от 36, за да получите -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Извадете 64x^{2} и от двете страни.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Групирайте 24x^{2} и -64x^{2}, за да получите -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Заместете x^{2} с t.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, -40 за b и -924 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Решете уравнението t=\frac{40±128}{8}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=21 t=-11$$

Тъй като x=t^{2}, решенията са получени чрез оценяване на x=±\sqrt{t} за всеки t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Заместете -\sqrt{21} вместо x в уравнението \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Опростявайте. Стойността x=-\sqrt{21} не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$-4=4$$

Заместете \sqrt{21} вместо x в уравнението \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Опростявайте. Стойността x=\sqrt{21} не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$-4=4$$

Заместете -\sqrt{11}i вместо x в уравнението \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Опростявайте. Стойността x=-\sqrt{11}i отговаря на уравнението.

$$4=4$$

Заместете \sqrt{11}i вместо x в уравнението \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Опростявайте. Стойността x=\sqrt{11}i отговаря на уравнението.

$$4=4$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$