Решете sqrt{2x-1}-2=sqrt{x-4}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - 2 = \sqrt { x - 4 }$$

Решаване за x

$$x=13$$

$$x=5$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-1} и получавате 2x-1.

$$2x-1-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Съберете -1 и 4, за да се получи 3.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-4} и получавате x-4.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=x-4$$

Извадете 2x+3 и от двете страни на уравнението.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-\left(2x+3\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 2x+3, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-2x-3$$

Групирайте x и -2x, за да получите -x.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-4-3$$

Извадете 3 от -4, за да получите -7.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-7$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Разложете \left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -4 и получавате 16.

$$16\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-1} и получавате 2x-1.

$$16\left(2x-1\right)=\left(-x-7\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16 по 2x-1.

$$32x-16=\left(-x-7\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(-x-7\right)^{2}.

$$32x-16=x^{2}+14x+49$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$32x-16-x^{2}=14x+49$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$32x-16-x^{2}-14x=49$$

Групирайте 32x и -14x, за да получите 18x.

$$18x-16-x^{2}=49$$

Извадете 49 и от двете страни.

$$18x-16-x^{2}-49=0$$

Извадете 49 от -16, за да получите -65.

$$18x-65-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+18x-65=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx-65. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=18 ab=-\left(-65\right)=65$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 65 на продукта.

$$1,65 5,13$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+65=66 5+13=18$$

Решението е двойката, която дава сума 18.

$$a=13 b=5$$

Напишете -x^{2}+18x-65 като \left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right)$$

Фактор, -x в първата и 5 във втората група.

$$-x\left(x-13\right)+5\left(x-13\right)$$

Разложете на множители общия член x-13, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-13\right)\left(-x+5\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-13=0 и -x+5=0.

$$x=13 x=5$$

Заместете 13 вместо x в уравнението \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 13-1}-2=\sqrt{13-4}$$

Опростявайте. Стойността x=13 отговаря на уравнението.

$$3=3$$

Заместете 5 вместо x в уравнението \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-2=\sqrt{5-4}$$

Опростявайте. Стойността x=5 отговаря на уравнението.

$$1=1$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$x=13 x=5$$