Решете sqrt{2x+13}-3x=9

$$\sqrt { 2 x + 13 } - 3 x = 9$$

Решаване за x

$$x=-2$$

Стъпки на решението

Извадете -3x и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{2x+13}=9+3x$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{2x+13}\right)^{2}=\left(9+3x\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x+13} и получавате 2x+13.

$$2x+13=\left(9+3x\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(9+3x\right)^{2}.

$$2x+13=81+54x+9x^{2}$$

Извадете 81 и от двете страни.

$$2x+13-81=54x+9x^{2}$$

Извадете 81 от 13, за да получите -68.

$$2x-68=54x+9x^{2}$$

Извадете 54x и от двете страни.

$$2x-68-54x=9x^{2}$$

Групирайте 2x и -54x, за да получите -52x.

$$-52x-68=9x^{2}$$

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$-52x-68-9x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-9x^{2}-52x-68=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -9x^{2}+ax+bx-68. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-52 ab=-9\left(-68\right)=612$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 612 на продукта.

$$-1,-612 -2,-306 -3,-204 -4,-153 -6,-102 -9,-68 -12,-51 -17,-36 -18,-34$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-612=-613 -2-306=-308 -3-204=-207 -4-153=-157 -6-102=-108 -9-68=-77 -12-51=-63 -17-36=-53 -18-34=-52$$

Решението е двойката, която дава сума -52.

$$a=-18 b=-34$$

Напишете -9x^{2}-52x-68 като \left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right).

$$\left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right)$$

Фактор, 9x в първата и 34 във втората група.

$$9x\left(-x-2\right)+34\left(-x-2\right)$$

Разложете на множители общия член -x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x-2\right)\left(9x+34\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x-2=0 и 9x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{9}$$

Заместете -2 вместо x в уравнението \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-2\right)+13}-3\left(-2\right)=9$$

Опростявайте. Стойността x=-2 отговаря на уравнението.

$$9=9$$

Заместете -\frac{34}{9} вместо x в уравнението \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-\frac{34}{9}\right)+13}-3\left(-\frac{34}{9}\right)=9$$

Опростявайте. Стойността x=-\frac{34}{9} не отговаря на уравнението.

$$\frac{41}{3}=9$$

Уравнението \sqrt{2x+13}=3x+9 има уникално решение.

$$x=-2$$