Решете sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2-x} и получавате 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Добавете 2x от двете страни.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Групирайте -x и 2x, за да получите x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Извадете 1 от 2, за да получите 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 1 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 1 с 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -1 с \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Разделете -1+\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{5} от -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Разделете -1-\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Заместете \frac{1-\sqrt{5}}{2} вместо x в уравнението \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Заместете \frac{\sqrt{5}+1}{2} вместо x в уравнението \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} отговаря на уравнението.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Уравнението \sqrt{2-x}=x-1 има уникално решение.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$