Решете sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Решаване за x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Стъпки на решението

Извадете -\sqrt{19-x^{2}} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{15+x^{2}} и получавате 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{19-x^{2}} и получавате 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Съберете 4 и 19, за да се получи 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Извадете 23-x^{2} и от двете страни на уравнението.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

За да намерите противоположната стойност на 23-x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Извадете 23 от 15, за да получите -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Разложете \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 4 и получавате 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{19-x^{2}} и получавате 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16 по 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Извадете 304 и от двете страни.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Извадете 304 от 64, за да получите -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Добавете 16x^{2} от двете страни.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Групирайте -32x^{2} и 16x^{2}, за да получите -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Заместете x^{2} с t.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, -16 за b и -240 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Решете уравнението t=\frac{16±64}{8}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=10 t=-6$$

Тъй като x=t^{2}, решенията се получават чрез оценяване на x=±\sqrt{t} за позитивни t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Заместете \sqrt{10} вместо x в уравнението \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Опростявайте. Стойността x=\sqrt{10} отговаря на уравнението.

$$2=2$$

Заместете -\sqrt{10} вместо x в уравнението \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Опростявайте. Стойността x=-\sqrt{10} отговаря на уравнението.

$$2=2$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$