Решете sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Решаване за x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Съберете 4 и 4, за да се получи 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} и получавате x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Съберете 4 и 16, за да се получи 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} и получавате x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Групирайте x^{2} и -x^{2}, за да получите 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Групирайте -4x и -4x, за да получите -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Извадете 8 от 20, за да получите 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Групирайте y^{2} и -y^{2}, за да получите 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Добавете 4y от двете страни.

$$-8x=12-8y+4y$$

Групирайте -8y и 4y, за да получите -4y.

$$-8x=12-4y$$

Разделете двете страни на -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Делението на -8 отменя умножението по -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Разделете 12-4y на -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Заместете \frac{y-3}{2} вместо x в уравнението \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{y-3}{2} отговаря на уравнението.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Уравнението \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} има уникално решение.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Решаване за y

$$y=2x+3$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Съберете 4 и 4, за да се получи 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} и получавате x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Съберете 4 и 16, за да се получи 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} и получавате x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Групирайте y^{2} и -y^{2}, за да получите 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Добавете 8y от двете страни.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Групирайте -4y и 8y, за да получите 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Групирайте x^{2} и -x^{2}, за да получите 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Добавете 4x от двете страни.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Групирайте 4x и 4x, за да получите 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$4y=8x+20-8$$

Извадете 8 от 20, за да получите 12.

$$4y=8x+12$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Разделете 8x+12 на 4.

$$y=2x+3$$

Заместете 2x+3 вместо y в уравнението \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Опростявайте. Стойността y=2x+3 отговаря на уравнението.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Уравнението \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} има уникално решение.

$$y=2x+3$$