Решете sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Решаване за x

$$x=y+2$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Съберете 49 и 1, за да се получи 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} и получавате 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Съберете 9 и 25, за да се получи 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} и получавате 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Добавете 6x от двете страни.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Групирайте -14x и 6x, за да получите -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Групирайте x^{2} и -x^{2}, за да получите 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Извадете 50 и от двете страни.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Извадете 50 от 34, за да получите -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Добавете 2y от двете страни.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Групирайте -10y и 2y, за да получите -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Групирайте y^{2} и -y^{2}, за да получите 0.

$$-8x=-16-8y$$

Уравнението е в стандартна форма.

$$-8x=-8y-16$$

Разделете двете страни на -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Делението на -8 отменя умножението по -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Разделете -16-8y на -8.

$$x=y+2$$

Заместете y+2 вместо x в уравнението \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Опростявайте. Стойността x=y+2 отговаря на уравнението.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

Уравнението \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} има уникално решение.

$$x=y+2$$

Решаване за y

$$y=x-2$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Съберете 49 и 1, за да се получи 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} и получавате 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Съберете 9 и 25, за да се получи 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} и получавате 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Добавете 10y от двете страни.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Групирайте -2y и 10y, за да получите 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Групирайте y^{2} и -y^{2}, за да получите 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Извадете 50 и от двете страни.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Извадете 50 от 34, за да получите -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Добавете 14x от двете страни.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Групирайте -6x и 14x, за да получите 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Групирайте x^{2} и -x^{2}, за да получите 0.

$$8y=-16+8x$$

Уравнението е в стандартна форма.

$$8y=8x-16$$

Разделете двете страни на 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Делението на 8 отменя умножението по 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Разделете -16+8x на 8.

$$y=x-2$$

Заместете x-2 вместо y в уравнението \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Опростявайте. Стойността y=x-2 отговаря на уравнението.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

Уравнението \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} има уникално решение.

$$y=x-2$$