Решете {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Решаване за y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$y-2x=4$$

Съберете 2x към двете страни на уравнението.

$$y=2x+4$$

Заместете 4+2x вместо y в другото уравнение, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Умножете 3 по 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Съберете 6x с 2x.

$$8x+12=28$$

Извадете 12 и от двете страни на уравнението.

$$8x=16$$

Разделете двете страни на 8.

$$x=2$$

Заместете 2 вместо x в y=2x+4. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=2\times 2+4$$

Умножете 2 по 2.

$$y=4+4$$

Съберете 4 с 4.

$$y=8$$

Системата сега е решена.

$$y=8,x=2$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=8,x=2$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

За да направите y и 3y равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 3, а всички членове от двете страни на второто по 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Опростявайте.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Извадете 3y+2x=28 от 3y-6x=12, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Съберете 3y с -3y. Условията 3y и -3y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-6x-2x=12-28$$

Съберете -6x с -2x.

$$-8x=12-28$$

Съберете 12 с -28.

$$-8x=-16$$

Разделете двете страни на -8.

$$x=2$$

Заместете 2 вместо x в 3y+2x=28. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$3y+2\times 2=28$$

Умножете 2 по 2.

$$3y+4=28$$

Извадете 4 и от двете страни на уравнението.

$$3y=24$$

Разделете двете страни на 3.

$$y=8$$

Системата сега е решена.

$$y=8,x=2$$