Решете {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Решаване за y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете 3x и от двете страни.

$$y-3x=0$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$y-3x=0$$

Съберете 3x към двете страни на уравнението.

$$y=3x$$

Заместете 3x вместо y в другото уравнение, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Съберете 3x с x.

$$4x=16$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=4$$

Заместете 4 вместо x в y=3x. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=3\times 4$$

Умножете 3 по 4.

$$y=12$$

Системата сега е решена.

$$y=12,x=4$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете 3x и от двете страни.

$$y-3x=0$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=12,x=4$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете 3x и от двете страни.

$$y-3x=0$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Извадете y+x=16 от y-3x=0, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$y-y-3x-x=-16$$

Съберете y с -y. Условията y и -y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-3x-x=-16$$

Съберете -3x с -x.

$$-4x=-16$$

Разделете двете страни на -4.

$$x=4$$

Заместете 4 вместо x в y+x=16. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y+4=16$$

Извадете 4 и от двете страни на уравнението.

$$y=12$$

Системата сега е решена.

$$y=12,x=4$$