Решете {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Решаване за x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Добавете y от двете страни.

$$x+y=0$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$x+y=0$$

Извадете y и от двете страни на уравнението.

$$x=-y$$

Заместете -y вместо x в другото уравнение, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Умножете 2 по -y.

$$-2y+y=5$$

Съберете -2y с y.

$$-y=5$$

Разделете двете страни на -1.

$$y=-5$$

Заместете -5 вместо y в x=-y. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-\left(-5\right)$$

Умножете -1 по -5.

$$x=5$$

Системата сега е решена.

$$x=5,y=-5$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Добавете y от двете страни.

$$x+y=0$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=5,y=-5$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Добавете y от двете страни.

$$x+y=0$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Извадете 2x+y=5 от x+y=0, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$x-2x+y-y=-5$$

Съберете y с -y. Условията y и -y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$x-2x=-5$$

Съберете x с -2x.

$$-x=-5$$

Разделете двете страни на -1.

$$x=5$$

Заместете 5 вместо x в 2x+y=5. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$2\times 5+y=5$$

Умножете 2 по 5.

$$10+y=5$$

Извадете 10 и от двете страни на уравнението.

$$y=-5$$

Системата сега е решена.

$$x=5,y=-5$$