Решете {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Решаване за x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете второто уравнение. Извадете y и от двете страни.

$$x-y=-5$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$x+2y=1$$

Извадете 2y и от двете страни на уравнението.

$$x=-2y+1$$

Заместете -2y+1 вместо x в другото уравнение, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Съберете -2y с -y.

$$-3y+1=-5$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$-3y=-6$$

Разделете двете страни на -3.

$$y=2$$

Заместете 2 вместо y в x=-2y+1. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-2\times 2+1$$

Умножете -2 по 2.

$$x=-4+1$$

Съберете 1 с -4.

$$x=-3$$

Системата сега е решена.

$$x=-3,y=2$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете второто уравнение. Извадете y и от двете страни.

$$x-y=-5$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-3,y=2$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете второто уравнение. Извадете y и от двете страни.

$$x-y=-5$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Извадете x-y=-5 от x+2y=1, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Съберете x с -x. Условията x и -x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$2y+y=1+5$$

Съберете 2y с y.

$$3y=1+5$$

Съберете 1 с 5.

$$3y=6$$

Разделете двете страни на 3.

$$y=2$$

Заместете 2 вместо y в x-y=-5. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x-2=-5$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$x=-3$$

Системата сега е решена.

$$x=-3,y=2$$