Решете {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Решаване за x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$2x+y=3$$

Извадете y и от двете страни на уравнението.

$$2x=-y+3$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Умножете \frac{1}{2} по -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Заместете \frac{-y+3}{2} вместо x в другото уравнение, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Съберете -\frac{y}{2} с y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Извадете \frac{3}{2} и от двете страни на уравнението.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Умножете и двете страни по 2.

$$y=7$$

Заместете 7 вместо y в x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Умножете -\frac{1}{2} по 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Съберете \frac{3}{2} и -\frac{7}{2}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=-2$$

Системата сега е решена.

$$x=-2,y=7$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-2,y=7$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Извадете x+y=5 от 2x+y=3, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Съберете y с -y. Условията y и -y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$2x-x=3-5$$

Съберете 2x с -x.

$$x=3-5$$

Съберете 3 с -5.

$$x=-2$$

Заместете -2 вместо x в x+y=5. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$-2+y=5$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$y=7$$

Системата сега е решена.

$$x=-2,y=7$$