Решете lambda^3-27lambda^2+243lambda-729=0

$$\lambda ^ { 3 } - 27 \lambda ^ { 2 } + 243 \lambda - 729 = 0$$

Решаване за λ

$$\lambda =9$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -729, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±729,±243,±81,±27,±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$\lambda =9$$

Според теоремата за множителите \lambda -k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете \lambda ^{3}-27\lambda ^{2}+243\lambda -729 на \lambda -9, за да получите \lambda ^{2}-18\lambda +81. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$\lambda ^{2}-18\lambda +81=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -18 за b и 81 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$\lambda =\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 1\times 81}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$\lambda =\frac{18±0}{2}$$

Решенията са еднакви.

$$\lambda =9$$