Решете ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Изчисляване

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Стъпки на решението

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите \sqrt{x}+1 по \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x} и получавате x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Напишете \sqrt{x} като x^{\frac{1}{2}}. Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x с \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Опростявайте.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Опростявайте.

$$\frac{271}{6}$$