Решете ∫ (from 1 to 8) of (1/sqrt{x}-3x+5) wrt x=

$$\int _ { 1 } ^ { 8 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - 3 x + 5 ) d x =$$

Изчисляване

$$4\sqrt{2}-\frac{123}{2}\approx -55,843145751$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-3x+5\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -3x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-3\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Напишете \frac{1}{\sqrt{x}} като x^{-\frac{1}{2}}. Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x с \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Опростяване и конвертиране от експоненциална в радикална форма.

$$2\sqrt{x}-3\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}. Умножете -3 по \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{3x^{2}}{2}+\int 5\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на 5, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2\sqrt{x}-\frac{3x^{2}}{2}+5x$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$2\times 8^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\times 8^{2}+5\times 8-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\times 1^{2}+5\times 1\right)$$

Опростявайте.

$$4\sqrt{2}-\frac{123}{2}$$