Решете ∫ (from 1 to 3) of 3x^2+2x+1 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } 3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 d x$$

Изчисляване

$$36$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int 3x^{2}+2x+1\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$3\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{2}\mathrm{d}x с \frac{x^{3}}{3}. Умножете 3 по \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}. Умножете 2 по \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{3}+x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на 1, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x^{3}+x^{2}+x$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$3^{3}+3^{2}+3-\left(1^{3}+1^{2}+1\right)$$

Опростявайте.

$$36$$