Решете ∫ (from 1 to 3) of (x^2+1/x^2+1) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + 1 ) d x$$

Изчисляване

$$\frac{34}{3}\approx 11,333333333$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{2}\mathrm{d}x с \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x с -\frac{1}{x}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+\int 1\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на 1, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+x$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$\frac{3^{3}}{3}-3^{-1}+3-\left(\frac{1^{3}}{3}-1^{-1}+1\right)$$

Опростявайте.

$$\frac{34}{3}$$