Решете ∫ (from 1 to 3) of (6x^2-2x+2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( 6 x ^ { 2 } - 2 x + 2 ) d x$$

Изчисляване

$$48$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int 6x^{2}-2x+2\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{2}\mathrm{d}x с \frac{x^{3}}{3}. Умножете 6 по \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}. Умножете -2 по \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}-x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на 2, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{3}-x^{2}+2x$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$2\times 3^{3}-3^{2}+2\times 3-\left(2\times 1^{3}-1^{2}+2\times 1\right)$$

Опростявайте.

$$48$$