Решете ∫ (from 1 to 2) of (1+2y)^2 wrt y

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + 2 y ) ^ { 2 } d y$$

Изчисляване

$$\frac{49}{3}\approx 16,333333333$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+2y\right)^{2}.

$$\int _{1}^{2}1+4y+4y^{2}\mathrm{d}y$$

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int 1+4y+4y^{2}\mathrm{d}y$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int 1\mathrm{d}y+\int 4y\mathrm{d}y+\int 4y^{2}\mathrm{d}y$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int 1\mathrm{d}y+4\int y\mathrm{d}y+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Намиране на интеграла на 1, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}y=ay.

$$y+4\int y\mathrm{d}y+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Тъй като \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int y\mathrm{d}y с \frac{y^{2}}{2}. Умножете 4 по \frac{y^{2}}{2}.

$$y+2y^{2}+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Тъй като \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int y^{2}\mathrm{d}y с \frac{y^{3}}{3}. Умножете 4 по \frac{y^{3}}{3}.

$$y+2y^{2}+\frac{4y^{3}}{3}$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$2+2\times 2^{2}+\frac{4}{3}\times 2^{3}-\left(1+2\times 1^{2}+\frac{4}{3}\times 1^{3}\right)$$

Опростявайте.

$$\frac{49}{3}$$