Решете ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Изчисляване

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Напишете \frac{1}{\sqrt{x}} като x^{-\frac{1}{2}}. Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x с \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Опростяване и конвертиране от експоненциална в радикална форма.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}. Умножете -1 по \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Опростявайте.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$