Решете ∫ (from 0 to e) of (2x^2-x+1) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { e } ( 2 x ^ { 2 } - x + 1 ) d x$$

Изчисляване

$$\frac{2e^{3}}{3}-\frac{e^{2}}{2}+e\approx 12,414111728$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int 2x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{2}\mathrm{d}x с \frac{x^{3}}{3}. Умножете 2 по \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}. Умножете -1 по \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на 1, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$\frac{2}{3}e^{3}-\frac{e^{2}}{2}+e-\left(\frac{2}{3}\times 0^{3}-\frac{0^{2}}{2}+0\right)$$

Опростявайте.

$$\frac{2e^{3}}{3}-\frac{e^{2}}{2}+e$$