Решете ∫ (from 0 to 2) of (y^4-y^2-4y+4) wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( y ^ { 4 } - y ^ { 2 } - 4 y + 4 ) d y$$

Изчисляване

$$\frac{56}{15}\approx 3,733333333$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int y^{4}-y^{2}-4y+4\mathrm{d}y$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int y^{4}\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y+\int -4y\mathrm{d}y+\int 4\mathrm{d}y$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int y^{4}\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y-4\int y\mathrm{d}y+\int 4\mathrm{d}y$$

Тъй като \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int y^{4}\mathrm{d}y с \frac{y^{5}}{5}.

$$\frac{y^{5}}{5}-\int y^{2}\mathrm{d}y-4\int y\mathrm{d}y+\int 4\mathrm{d}y$$

Тъй като \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int y^{2}\mathrm{d}y с \frac{y^{3}}{3}. Умножете -1 по \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{3}}{3}-4\int y\mathrm{d}y+\int 4\mathrm{d}y$$

Тъй като \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int y\mathrm{d}y с \frac{y^{2}}{2}. Умножете -4 по \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{3}}{3}-2y^{2}+\int 4\mathrm{d}y$$

Намиране на интеграла на 4, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}y=ay.

$$\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{3}}{3}-2y^{2}+4y$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$\frac{2^{5}}{5}-\frac{2^{3}}{3}-2\times 2^{2}+4\times 2-\left(\frac{0^{5}}{5}-\frac{0^{3}}{3}-2\times 0^{2}+4\times 0\right)$$

Опростявайте.

$$\frac{56}{15}$$