Решете ∫ (from 0 to 1) of (x^2-3x+1) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x ^ { 2 } - 3 x + 1 ) d x$$

Изчисляване

$$-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int x^{2}-3x+1\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -3x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-3\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{2}\mathrm{d}x с \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-3\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}. Умножете -3 по \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на 1, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+x$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$\frac{1^{3}}{3}-\frac{3}{2}\times 1^{2}+1-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{3}{2}\times 0^{2}+0\right)$$

Опростявайте.

$$-\frac{1}{6}$$