Решете ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Изчисляване

$$1$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Намиране на интеграла на 1, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Тъй като \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int v^{3}\mathrm{d}v с \frac{v^{4}}{4}. Умножете -8 по \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Тъй като \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int v^{7}\mathrm{d}v с \frac{v^{8}}{8}. Умножете 16 по \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Опростявайте.

$$1$$