Решете ∫ (from - 1 to 3) of (x^2+2x-6) wrt x

$$\int _ { - 1 } ^ { 3 } ( x ^ { 2 } + 2 x - 6 ) d x$$

Изчисляване

$$-\frac{20}{3}\approx -6,666666667$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int x^{2}+2x-6\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int -6\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -6\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{2}\mathrm{d}x с \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int -6\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}. Умножете 2 по \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int -6\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на -6, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-6x$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$\frac{3^{3}}{3}+3^{2}-6\times 3-\left(\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}+\left(-1\right)^{2}-6\left(-1\right)\right)$$

Опростявайте.

$$-\frac{20}{3}$$