Решете ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Изчисляване

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Стъпки на решението

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1-y по y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Тъй като \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int y\mathrm{d}y с \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Тъй като \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int y^{2}\mathrm{d}y с \frac{y^{3}}{3}. Умножете -1 по \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Опростявайте.

$$-\frac{2}{3}$$