Решете ∫ 3x^3(x^5+7)^2 wrt x

$$\int 3 x ^ { 3 } ( x ^ { 5 } + 7 ) ^ { 2 } d x$$

Изчисляване

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}+С$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x^{5}+7\right)^{2}.

$$\int 3x^{3}\left(\left(x^{5}\right)^{2}+14x^{5}+49\right)\mathrm{d}x$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 5 по 2, за да получите 10.

$$\int 3x^{3}\left(x^{10}+14x^{5}+49\right)\mathrm{d}x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x^{3} по x^{10}+14x^{5}+49.

$$\int 3x^{13}+42x^{8}+147x^{3}\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int 3x^{13}\mathrm{d}x+\int 42x^{8}\mathrm{d}x+\int 147x^{3}\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$3\int x^{13}\mathrm{d}x+42\int x^{8}\mathrm{d}x+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{13}\mathrm{d}x с \frac{x^{14}}{14}. Умножете 3 по \frac{x^{14}}{14}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+42\int x^{8}\mathrm{d}x+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{8}\mathrm{d}x с \frac{x^{9}}{9}. Умножете 42 по \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{3}\mathrm{d}x с \frac{x^{4}}{4}. Умножете 147 по \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}$$

Ако F\left(x\right) е антидериват на f\left(x\right), то наборът от всички антипроизводни на f\left(x\right) е даден от F\left(x\right)+C. Ето защо, добавете константата на интеграцията C\in \mathrm{R} към резултата.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}+С$$

Диференциране по отношение на x

$$3x^{3}\left(x^{5}+7\right)^{2}$$