Решете ∫ (4x-7)^2 wrt x

$$\int ( 4 x - 7 ) ^ { 2 } d x$$

Изчисляване

$$\frac{\left(4x-7\right)^{3}}{12}+С$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(4x-7\right)^{2}.

$$\int 16x^{2}-56x+49\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -56x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-56\int x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{2}\mathrm{d}x с \frac{x^{3}}{3}. Умножете 16 по \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-56\int x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x\mathrm{d}x с \frac{x^{2}}{2}. Умножете -56 по \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+\int 49\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на 49, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+49x$$

Ако F\left(x\right) е антидериват на f\left(x\right), то наборът от всички антипроизводни на f\left(x\right) е даден от F\left(x\right)+C. Ето защо, добавете константата на интеграцията C\in \mathrm{R} към резултата.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+49x+С$$

Диференциране по отношение на x

$$\left(4x-7\right)^{2}$$