Решете ∫ (1-sqrt[3]{x^2})^2 wrt x

$$\int ( 1 - \sqrt[ 3 ] { x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } d x$$

Изчисляване

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x+С$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(1-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}.

$$\int 1-2\sqrt[3]{x^{2}}+\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -2x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int 1\mathrm{d}x-2\int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на 1, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x-2\int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x с \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}. Умножете -2 по \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}.

$$x-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

Тъй като \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x с \frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}.

$$x-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}$$

Опростявайте.

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x$$

Ако F\left(x\right) е антидериват на f\left(x\right), то наборът от всички антипроизводни на f\left(x\right) е даден от F\left(x\right)+C. Ето защо, добавете константата на интеграцията C\in \mathrm{R} към резултата.

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x+С$$

Диференциране по отношение на x

$$\left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)^{2}$$