Решете ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

Изчисляване

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

Стъпки на решението

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете -a-1 по \frac{a+1}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Тъй като \frac{2a+10}{a+1} и \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Извършете умноженията в 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right).

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Обединете подобните членове в 2a+10-a^{2}-a-a-1.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Разделете \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} на \frac{9-a^{2}}{a+1} чрез умножаване на \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} по обратната стойност на \frac{9-a^{2}}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Разложете на множители изразите, които все още не са разложени на множители, в \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}.

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Съкращаване на \left(a-3\right)\left(a+1\right) в числителя и знаменателя.

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Най-малкото общо кратно на \left(-a-3\right)\left(a+6\right) и a+3 е \left(a+3\right)\left(a+6\right). Умножете \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} по \frac{-1}{-1}. Умножете \frac{1}{a+3} по \frac{a+6}{a+6}.

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Тъй като \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} и \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Извършете умноженията в -\left(a-2\right)+a+6.

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Обединете подобните членове в -a+2+a+6.

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Умножете \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} по \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател.

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Съкращаване на 2 в числителя и знаменателя.

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Разложете на множители изразите, които все още не са разложени на множители, в \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Съкращаване на a+3 в числителя и знаменателя.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 2a-1.

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите a+6 по a^{2}.

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

Намиране на интеграла на \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

Опростявайте.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

Ако F\left(x\right) е антидериват на f\left(x\right), то наборът от всички антипроизводни на f\left(x\right) е даден от F\left(x\right)+C. Ето защо, добавете константата на интеграцията C\in \mathrm{R} към резултата.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

Диференциране по отношение на x

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$