Решете x-1/x-2geq3/4-2x

$$\frac{ x-1 }{ x-2 } \geq \frac{ 3 }{ 4-2x }$$

Решаване за x

$$x\in (-\infty,-\frac{1}{2}]\cup (2,\infty)$$

Стъпки на решението

Извадете \frac{3}{4-2x} и от двете страни.

$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3}{4-2x}\geq 0$$

Разложете на множители 4-2x.

$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3}{2\left(-x+2\right)}\geq 0$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Най-малкото общо кратно на x-2 и 2\left(-x+2\right) е 2\left(x-2\right). Умножете \frac{x-1}{x-2} по \frac{2}{2}. Умножете \frac{3}{2\left(-x+2\right)} по \frac{-1}{-1}.

$$\frac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-2\right)}-\frac{3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Тъй като \frac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-2\right)} и \frac{3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\frac{2\left(x-1\right)-3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Извършете умноженията в 2\left(x-1\right)-3\left(-1\right).

$$\frac{2x-2+3}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Обединете подобните членове в 2x-2+3.

$$\frac{2x+1}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по x-2.

$$\frac{2x+1}{2x-4}\geq 0$$

За да може коефициентът да бъде ≥0, 2x+1 и 2x-4 трябва да бъдат както ≤0, така и ≥0, и 2x-4 не може да бъде нула. Помислете за случая, когато 2x+1\leq 0 и 2x-4 е отрицателен.

$$2x+1\leq 0 2x-4<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\leq -\frac{1}{2}.

$$x\leq -\frac{1}{2}$$

Помислете за случая, когато 2x+1\geq 0 и 2x-4 е положителна.

$$2x+1\geq 0 2x-4>0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x>2.

$$x>2$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\leq -\frac{1}{2}\text{; }x>2$$