Решете x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{1}{2},1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-1\right)\left(2x+1\right) – най-малкия общ множител на 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Умножете x-1 по x-1, за да получите \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Умножете 2x+1 по 2x+1, за да получите \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-1 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x^{2}-x-1 по 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Групирайте 4x^{2} и 6x^{2}, за да получите 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Групирайте 4x и -3x, за да получите x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Извадете 10x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Групирайте x^{2} и -10x^{2}, за да получите -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Извадете x и от двете страни.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Групирайте -2x и -x, за да получите -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Добавете 2 от двете страни.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Съберете 1 и 2, за да се получи 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -9 вместо a, -3 вместо b и 3 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Повдигане на квадрат на -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Умножете -4 по -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Умножете 36 по 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Съберете 9 с 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Получете корен квадратен от 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Противоположното на -3 е 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Умножете 2 по -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Сега решете уравнението x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, когато ± е плюс. Съберете 3 с 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Разделете 3+3\sqrt{13} на -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, когато ± е минус. Извадете 3\sqrt{13} от 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Разделете 3-3\sqrt{13} на -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{1}{2},1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-1\right)\left(2x+1\right) – най-малкия общ множител на 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Умножете x-1 по x-1, за да получите \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Умножете 2x+1 по 2x+1, за да получите \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-1 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x^{2}-x-1 по 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Групирайте 4x^{2} и 6x^{2}, за да получите 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Групирайте 4x и -3x, за да получите x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Извадете 10x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Групирайте x^{2} и -10x^{2}, за да получите -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Извадете x и от двете страни.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Групирайте -2x и -x, за да получите -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Извадете 1 от -2, за да получите -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Разделете двете страни на -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Делението на -9 отменя умножението по -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Намаляване на дробта \frac{-3}{-9} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Намаляване на дробта \frac{-3}{-9} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Разделете \frac{1}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{6}. След това съберете квадрата на \frac{1}{6} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{6}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Съберете \frac{1}{3} и \frac{1}{36}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Извадете \frac{1}{6} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$