Решете 70/x+35+70/x-35=40

$$\frac{ 70 }{ x+35 } + \frac{ 70 }{ x-35 } =40$$

Решаване за x

$$x = \frac{7 \sqrt{401} + 7}{4} \approx 36,79372269$$

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}\approx -33,29372269$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -35,35, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-35\right)\left(x+35\right) – най-малкия общ множител на x+35,x-35.

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-35 по 70.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+35 по 70.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Групирайте 70x и 70x, за да получите 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Съберете -2450 и 2450, за да се получи 0.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 40 по x-35.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 40x-1400 по x+35 и да групирате подобните членове.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Извадете 40x^{2} и от двете страни.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Добавете 49000 от двете страни.

$$140x-40x^{2}+49000=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-40x^{2}+140x+49000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -40 вместо a, 140 вместо b и 49000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Повдигане на квадрат на 140.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Умножете -4 по -40.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+160\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Умножете 160 по 49000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+7840000}}{2\left(-40\right)}$$

Съберете 19600 с 7840000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{7859600}}{2\left(-40\right)}$$

Получете корен квадратен от 7859600.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{2\left(-40\right)}$$

Умножете 2 по -40.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}, когато ± е плюс. Съберете -140 с 140\sqrt{401}.

$$x=\frac{140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Разделете -140+140\sqrt{401} на -80.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}, когато ± е минус. Извадете 140\sqrt{401} от -140.

$$x=\frac{-140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Разделете -140-140\sqrt{401} на -80.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4} x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -35,35, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-35\right)\left(x+35\right) – най-малкия общ множител на x+35,x-35.

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-35 по 70.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+35 по 70.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Групирайте 70x и 70x, за да получите 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Съберете -2450 и 2450, за да се получи 0.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 40 по x-35.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 40x-1400 по x+35 и да групирате подобните членове.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Извадете 40x^{2} и от двете страни.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-40x^{2}+140x=-49000$$

Разделете двете страни на -40.

$$\frac{-40x^{2}+140x}{-40}=-\frac{49000}{-40}$$

Делението на -40 отменя умножението по -40.

$$x^{2}+\frac{140}{-40}x=-\frac{49000}{-40}$$

Намаляване на дробта \frac{140}{-40} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 20.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{49000}{-40}$$

Разделете -49000 на -40.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=1225$$

Разделете -\frac{7}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{7}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{7}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=1225+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{7}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=1225+\frac{49}{16}$$

Съберете 1225 с \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{19649}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{19649}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19649}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{7\sqrt{401}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{7\sqrt{401}}{4}$$

Съберете \frac{7}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4} x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$